Bài 2.3 đề HKII 2014-2015

Bài toán:Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên $(C)$ những điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với đường thẳng $y=2$ và $x=1$  một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\sqrt{2}$.

Nhận xét:  Tam giác tạo thành là tam giác vuông. Ta sẽ tiến hành tìm giao điểm của tiếp tuyến với các đường thẳng $y=2$ và $x=1$.
Giải:
$y=\dfrac{2x-1}{x-1}\Longrightarrow y'=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
Gọi $M(x_o,y_o)$ là điểm cần tìm, ta có $y_o=\dfrac{2x_o-1}{x_o-1}$.
Khi đó tiếp tuyến $(d)$ của $(C)$ tại $M$ có phương trình là
$$y=\dfrac{x_o-x}{(x_o-1)^2}+\dfrac{2x_o-1}{x_o-1}$$
Nháp
Ta tìm $(d)\cap (x=1)$. $x=1$ thì $y=\dfrac{1}{x_o-1}+\dfrac{2x_o-1}{x_o-1}=\dfrac{2x_o}{x_o-1}$
$(d)\cap (y=2)$ thì $2=\dfrac{x_o-x}{(x_o-1)^2}+\dfrac{2x_o-1}{x_o-1}$
Suy ra $\dfrac{x_o-x}{(x_o-1)^2}=\dfrac{-1}{x_o-1}$ hay 
$x=2x_o-1$
Ta có $(d)\cap (x=1)=A\left(1,\dfrac{2x_o}{x_o-1}\right)$
$(d)\cap (y=2)=B\left(2x_o-1,2\right)$
Đặt $I(1,2)=(x=1)\cap(y=2)$. Khi đó $\Delta IAB$ là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\sqrt{2}$ và tam giác này là tam giác vuông tại $I$. Do đó $AB=2\sqrt{2}$.
Ta có:
$\overrightarrow{AB}=\left(2x_o-2,\dfrac{-2}{x_o-1}\right)$
Ta có phuong trình 
$$\sqrt{(2x_o-2)^2+\dfrac{4}{(x_o-1)^2}}=2\sqrt{2}$$
$$\Longleftrightarrow 4.(x_o-1)^4+4=8(x_o-1)^2$$
$$\Longleftrightarrow \left[(x_o-1)^2-1\right]^2=0$$
$$\Longleftrightarrow (x_o-1)^2=1$$
$$\Longleftrightarrow x_o=0 \text{ hay } x_o=2$$
Vậy $M(0,1)$ hay $M\left(2,3\right)$.
Có thể thử sức với bài toán sau:
Với dữ kiện như bài toán trên và các điểm định nghĩa như trên. Chứng minh rằng diện tích tam giác $IAB$ không phụ thuộc vào cách chọn điểm $M$.