Bài 2 TST 2019

Bài toán: (Việt Nam TST 2019) Với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức sau đây
$$P_n(x)=\sum^n_{i=0}C^{2k}_{2n}2^k.x^k.(x-1)^{n-k}$$
có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt.

Từ Định lý Ptolemy đến IMO 2001

Bài viết này hy vọng sẽ cung cấp cho bạn đọc một số kiến thức xung quanh kiến thức khá kinh điển trong hình học: Định lý Ptolemy.

Đa thức- Viet

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức $T=\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{2\pi}{7}}+\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{3\pi}{7}}+\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{6\pi}{7}}$

Tổ hợp

Trong quốc hội Mỹ ,mỗi nghị sỹ có không quá 3 kẻ thù .chứng minh rằng có thể chia quốc hội thành 2 viện ,sao cho trong mỗi viện,mỗi nghị sỹ có không quá một kẻ thù

VMO 1997

1. Tìm  đa thức hữu tỷ có bậc bé nhất $P(x)$ sao cho $P\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)=3+\sqrt[3]{3}$.
2. Có tồn tại hay không đa thức $P(x)$ hệ số nguyên sao cho $P\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)=3+\sqrt[3]{3}$.

Toán cao cấp, sưu tầm

Phần này tôi sẽ viết về các bài toán mà tôi thích thú nhất. Đầu tiên là hai bài toán của bộ môn Hàm một biến phức, bộ môn do TS. Nguyễn Văn Đông giảng dạy.

Kết thức

Việc tính kết thức là bài toán khá cơ bản trong Đại số. Tính kết thức của hai đa thức $f$ (bậc $m$) và đa thức $g$ (bậc $m$) đòi hỏi ta phải khai triển định thức cấp $m\times n$.

Giải trí

Chứng minh một ánh xạ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ là đơn ánh và liên tục thì $f$ đơn điệu.