Giải trí

Chứng minh một ánh xạ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ là đơn ánh và liên tục thì $f$ đơn điệu.

Chứng minh
Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa về hàm số đơn điệu. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ được gọi đơn điệu nếu $\left[\begin{matrix}\forall x,y\in \mathbb{R}:x>y\Longrightarrow f(x)<f(y)\\\forall x,y\in \mathbb{R}:x>y\Longrightarrow f(x)<f(y)\end{matrix}\right.$
 Trở lại bài toán, ta giả sử phản chứng $f$ không đơn điệu, khi đó tồn tại $x,y,z,t\in \mathbb{R}$ sao cho $x>y, f(x)<f(y)$ và $z<t, f(z)>f(t)$ (do $f$ đơn ánh).
Đặt $A=(x,y)\cap (z,t)$ và $B=\left(f(x),f(y)\right)\cap \left(f(t),f(z)\right)$.
 Nếu $B\ne \emptyset$, lấy $f(a)\in B$ với $a\in A$ (thật vậy theo định lý giá trị trung gian thì tồn tại $c\in (x;y)$ và $c'\in (z,t)$ sao cho $f(a)=f(c)=f(c')$. Mặt khác do $f$ đơn ánh nên $a=c'=c$), ta có $a<y,a<t$ và $f(a)<f(y),f(a)>f(t)$    (1)

Ta chứng minh bổ đề sau:
 Nếu $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ đơn ánh và liên tục thì không thể tổn tại $x,y,z\in \mathbb{R}$ sao cho $\left[\begin{matrix}x>y>z\Longrightarrow f(x)>f(y), f(z)>f(y)\\x>y>z\Longrightarrow f(x)<f(y), f(z)<f(y)\end{matrix}\right.$
Thật vậy, giả sử mệnh đề trên đúng. Khi đó có 2 khả năng: 
- Khả năng 1 $x>y>z$ và $f(x)>f(y), f(z)>f(y)$
- Khả năng 2 $x>y>z$ và $f(x)<f(y), f(z)<f(y)$
Ta chỉ xét khả năng 1 và khả năng 2 là tương tự. Đặt $M=\max\{f(x),f(z)\}$ khi đó lấy $k\in (M,f(y))$ theo định lý giá trị trung gian thì có $a\in (x,y), b\in (y,z)$ sao cho $k=f(a)=f(b)$ mâu thuẫn với tính đơn ánh. Do đó ta có điều cần chứng minh.

Trở lại bài toán
Theo bổ đề thì (1) mâu thuẫn với tính đơn ánh của $f$. Do đó $B=\emptyset$ và $A=\emptyset$. Vì $B=\emptyset$ nên ta có hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1: $f(x)>f(z)>f(t)$. Khi đó tồn tại $a$ nằm giữa $x,t$ sao cho $f(z)=f(a)$ và do $f$ đơn ánh nên $a=z$. Suy ra $t>z>x$. Vì $A=\emptyset$ nên $t>z>y>x$. Lại có $f(t)<f(x)<f(y), f(y)>f(x)$. Theo bổ đề thì điều này mâu thuẫn với $f$ đơn ánh.
• Trường hợp 2: $f(y)<f(t)<f(z)$. Khi đó tồn tại $a$ nằm giữa $y,z$ sao cho $f(t)=f(a)$ và do $f$ đơn ánh nên $t=a$. Suy ra $z<t<y$. Vì $A=\emptyset$ nên $z<t<x<y$. Lại có $f(x)<f(y)<f(z), f(z)>f(t)$ và điều này mâu thuẫn với tính đơn ánh của $f$ theo bổ đề.

Từ đó ta có điều mâu thuẫn và giả sử sai. Suy ra $f$ đơn điệu.