VMO 1997

1. Tìm  đa thức hữu tỷ có bậc bé nhất $P(x)$ sao cho $P\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)=3+\sqrt[3]{3}$.
2. Có tồn tại hay không đa thức $P(x)$ hệ số nguyên sao cho $P\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)=3+\sqrt[3]{3}$.

Giải
Trước tiên ta chứng minh các bổ bổ đề sau:
Bổ đề 1:  Cho số phức $\alpha$ và $P(x)$ là đa thức hệ số hữu tỷ bất khả quy nhận $\alpha$ là nghiệm. Chứng minh rằng nếu $Q(x)$ là đa thức nhận $\alpha$ làm nghiệm thì $Q(x)$ chia hết cho $P(x).
 Thật vậy, ta gọi $P_o(x)$ là đa thức khác $0$ hệ số hửu tỷ có bậc nhỏ nhất nhận $a$ là nghiệm. Ta chứng minh $P_o(x)$ sai khác $P(x)$ một hằng số hữu tỷ. Giả sử phản chứng $\deg P(x)>\deg P_o(x)$. Thực hiện phép chia Euclide $P(x)$ cho $P_o(x)$.  Khi đó $P(x)=A(x).P_o(x)+R(x)$, trong đó hoặc $R(x)=0$ hoặc $0\le \deg R(x)<\deg P_o(x)-1$ và  $\deg A(x)\ge1$.  Trường hợp $R(x)=0$ không thể xảy ra do $P(x)$ là bất khả quy. Do đó chỉ xảy ra khả năng thứ hai. Tuy nhiên khi đó $R(x)$ lại nhận $\alpha$ là nghiệm nhưng $\deg R(x)<\deg P_o(x)$, mâu thuẫn với cách định nghĩa $P_o(x)$.  Do đó giả sử sai. Vậy $\deg P(x)=\deg P_o(x)$.
Tiếp tục thực hiện phép chia $P(x)$ cho $P_o(x)$ như trên ta thấy $P(x)=a.P_o(x)$.
Tóm lại $P(x)$ là đa thức có bậc nhỏ nhất nhận $\alpha$ là nghiệm.
 Bây giờ, ta lấy $Q(x)$ nhận $\alpha$ là nghiệm. Thực hiện phép chia $Q(x)$ cho $P(x)$. Thì dư của phép chia này phải bằng $0$ (vì nếu điều này không xảy ra, ta sẽ xây dựng được 1 đa thức bậc nhỏ hơn $P(x)$ nhận $\alpha$ làm nghiệm, mâu thuẫn với điều ta vừa có được).
Bổ đề 2: Nếu $a,b,c$ là các số hữu tỷ sao cho $a+b\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}=0$ thì $a=b=c=0$.
Thật vậy, giả sử phản chứng có một trong ba số khác $0$. Khi đó ta xây dựng được đa thức $P(x)=a+bx+cx^2$ nhận $\sqrt[3]{3}$ là nghiệm. Tuy nhiên $x^3-3$ là đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ (dùng tiêu chuẩn Eissenstein) nên bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ và đa thức này nhận $\sqrt[3]{3}$ là nghiệm nên theo Bổ đề 1 thì sự tồn tại của $P(x)$ là một điều mâu thuẫn. Do đó $a=b=c=0$

1. Ta thử xem về sự tồn tại của đa thức bậc hai. Dễ dàng thấy $Q(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}$ là đa thức thoả mãn. Ngoài ra, đa thức bậc một không thể xảy ra vì nếu $a.(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})+b=3+\sqrt[3]{3}$ thì $a-1=0,a=0$, đây là điều không thể xảy ra. Do đó $Q(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}$ là đa thức hữu tỷ có bậc nhỏ nhất thoả mãn điều kiện đề bài.
2. Giả sử tồn tại đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thoả $P\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)=3+\sqrt[3]{3}$. Khi đó 

$P(x)-Q(x)$ là đa thức hệ số hữu tỷ nhận $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$ là nghiệm.

Mặt khác $R(x)=x^3-9x-12$ là đa thức bất khả quy hệ số hữu tỷ nhận $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$ là nghiệm. Do đó $P(x)-Q(x)$ chia hết cho $R(x)$. Quy đồng và bỏ mẫu $P(x)-Q(x)$ ta thu được đa thức nguyên bản liên kết với nó, dễ thấy đa thức này là $2P(x)-x^2+x$. Khi đó theo bổ đề Gauss thì

$2P(x)-x^2-x=(x^3-9x-12).N(x)$       (1)

 với $N(x)$ là đa thức hệ số nguyên. Do hệ số trước $x$ của $P(x)-Q(x)$ có dạng $\dfrac{q}{2}$ với $(q,2)=1$ nên hệ số trước $x$ của $2P(x)-x^2-x$ phải là số lẻ. Điều này dẫn đến hệ số tự do của $N(x)$ phải là số lẻ. Tuy nhiên $P(x)-x^2+x$ chia hết cho $x^3-9x-12$ nên hệ số tự do của $P(x)$ chia hết cho $4$.  Do đó $(1)$ cho ta điều vô lý vì vế trái hệ số tự do chia hết cho $8$ trong khi về phải chỉ chia hết cho $4$. Vậy đa thức $P(x)$ không hề tồn tại.

 Ngoài ra, ý $2.$ ta có thể tiếp cận theo cách sau:
Ta chứng minh được $G(x)=x^3-9x-12$ là đa thức có bậc nhỏ nhất nhận $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$ là nghiệm. Giả sử tồn tại $P(x)$ thoả mãn yêu cầu. Khi đó do hệ số cao nhất của $G(x)$ là $1$ nên ta có thể thực hiện thuật toán chia Euclide $P(x)$ cho $G(x)$ trên số nguyên. Khi đó 

$P(x)=G(x).Q(x)+R(x)$ 

Lưu ý rằng $\deg R(x)<\deg G(x)=3$ và $Q(x)$ và $R(x)$ là các đa thức hệ số nguyên. Mặt khác ta dễ thấy $R(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})=0$ và theo cách xác định đa thức ở ý $1.$ thì đa thức bậc nhỏ nhất hệ số hữu tỷ bậc $2$ là duy nhất. Do đó $R(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}$. Vô lý vì $R(x)$ là đa thức hệ số nguyên.