Vành Noether và vành Artin

1. Kiến thức chuẩn bị

Tên tuổi Noether gắn liền với nền tảng của đại số trừu tượng. Định lý mang tên bà là một trong định lý cơ bản mà bất kì người học đại số cũng phải biết và hẳn phải biết rất rõ về nó cũng như ý nghĩa của nó. Một cấu trúc vành mang tên bà cũng đóng vai trò quan trọng và là cơ sở để sinh ra bộ môn hình học đại số. Bên cạnh Noether, vành Artin là cấu trúc vành gần cấu trúc trường nhất. Các kết quả về vành Artin hoàn thiện và trở thành kinh điển. Bài viết này xin gửi đến bạn đọc một số kết quả về hai loại vành kể trên.

2. Kiến thức chuẩn bị

2.1. Vành và đồng cấu vành

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm về vành, vành con và ideal.

Định nghĩa 2.1 (Vành) Một tập $A$ khác rỗng được trang bị hai phép toán cộng $(+)$ và nhân $(.)$ sao cho $(A,+)$ tạo thành nhóm giao hoán, $(A,.)$ là một nửa nhóm và giữa phép cộng và phép nhân có tính phân phối. Khi đó, $(A,+,.)$ tạo thành một vành.

Nếu $(A,.)$ có đơn vị thì ta nói $(A,+,.)$ là vành có đơn vị. Nếu $(A,.)$ giao hoán thì $(A,+,.)$ vành giao hoán. 

Ví dụ 2.2 $(\mathbb{Z},+,.)$ là vành giao hoán có đơn vị, tập hợp các ma trận vuông cấp $n$ cùng với phép cộng và nhân ma trận thông thường lập thành vành không giao hoán nhưng có đơn vị.

Nhận xét 1. Khi phép toán đã rõ và không gây ra sự nhầm lẫn, ta ngầm hiểu $A$ là vành với phép toán đã được xác định sẵn. Từ đây trở đi, khi nói đến vành thì ta hiểu đây là một vành giao hoán có đơn vị là $1$.

Định nghĩa 2.3  

1. Một bộ phận khác rỗng $M$ chứa đơn vị của $A$ được gọi là vành con nếu với mọi $a,b\in M$ thì $a-b$ và $ab$ là các phần tử thuộc $M$.
2. Một bộ phận khác rỗng $I$ của $M$ được gọi là Ideal của $A$ nếu với mọi $a,b$ thuộc $I$ và với mọi $x$ thuộc $A$ thì $a-b$ và $ax$ là các phần tử thuộc $I$. 
3. Cho hai vành $A, B$ và $f$ là ánh xạ đi từ $A$ đến $B$. Khi đó, $f$ được gọi là đồng cấu vành nếu với mọi $a,b$ thuộc $A$ thì \begin{align*} &f(a)+f(b)=f(a+b)\\&f(ab)=f(a)f(b)\end{align*}

 Nếu $f$ là một đồng cấu, $M$ là một vành con của $A$ và $I$ là một Ideal của $B$ thì ta định nghĩa các tập sau:\begin{align*}f(M)&=\left\{f(x):x\in M\right\}\\f^{-1}(B)&=\left\{x\in A: f(x)\in B \right\}.\end{align*} Dễ dàng kiểm tra được $f(M)$ là vành con của $B$ và $f^{-1}(B)$ là Ideal của $A$. Hơn nữa $f(A)$ được gọi là ảnh của đồng cấu $f$ (ký hiệu $Im f$) và $f^-{0}$ được gọi hạt nhân của đồng cấu (ký hiệu $\ker f$). Ta gọi $f$ là \textbf{đơn cấu} (tương ứng \textbf{toàn cấu, đẳng cấu}) nếu $f$ là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Khi có $f:A\to B$ là một đẳng cấu thì ta bảo $A$ và $B$ đẳng cấu nhau, ký hiệu $A\cong B$. Khi $I$ là Ideal của vành $A$ thì tập thương  $A/I$ cảm sinh một cấu trúc vành. Ta gọi $A/I$ là vành thương của $A$ theo $I$.

 Ta quan tâm tới đồng cấu $\pi$ từ $A$ lên vành thương $A/I$ xác định như sau: với mọi $a\in A$ thì

\begin{align*}\pi(a)=\overline{a}\end{align*}

với $\overline{a}$ là tương đương nhận $a$ làm đại diện trong vành thương $A/I$. Ánh xạ $\pi$ gọi là toàn cấu chính tắc. Ánh xạ $\pi$ cho ta tương ứng $1-1$ giữa các Ideal của $A/I$ và các Ideal của $A$ chứa $I$. Ta có định lý đẳng cấu sau

Định lý 2.4 (Định lý Noether)

Cho $f$ là đồng cấu vành từ $A$ đến $B$. Khi đó tồn tại một đơn cấu đi từ $A/\ker f$ vào $B$. Hơn nữa nếu $f$ là toàn cấu thì $$A/\ker f\cong B$$

2.2. Phép toán trên ideal

 Cho vành $A$ và $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ là các ideal của $A$. Ta định nghĩa tập sau: \begin{align*}\left\{x+y:x\in \mathfrak{a}; y\in \mathfrak{b}\right\}\end{align*}  ta chứng minh được tập trên tạo thành một ideal của $A$, hơn nữa là Ideal nhỏ nhất của $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$, ký hiệu $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$, và gọi là tổng của $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$. Tương tự ta có thể định nghĩa tổng của một họ tuỳ ý các Ideal $\left(\mathfrak{a}_i\right)_{i\in I}$ (có thể vô hạn) là tập gồm tất cả phần tử có dạng $\sum_{i\in I} a_i$ với $a_i\in \mathfrak{a}_i$ (tổng này chỉ có hữu hạn phần tử khác $0$). Tập này cũng là một Ideal của $A$, ký hiệu là $\Sigma_i \mathfrak{a}_i$. Đây là Ideal nhỏ nhất chứa tất cả các Ideal $\mathfrak{a}_i$. 

Giao của họ Ideal $(\mathfrak{a}_i)$ của $A$ theo nghĩa thông thường tạo thành Ideal và gọi là giao của họ Ideal trên. 

Tích của hai Ideal $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ của $A$ là Ideal sinh bởi tất cả phần tử có dạng $xy$ với $x\in \mathfrak{a},y\in \mathfrak{b}$. Bằng cách tương tự, ta định nghĩa tích của họ $(\mathfrak{a}_i)_{i\in I}$ các Ideal của $A$.

Trong vành $A$ tổng quát, ta luôn có tính chất sau 

Với $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ là Ideal của $A$, ta luôn có$$\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$$

2.3. Ideal nguyên tố, Ideal căn

Định nghĩa 2.6

1. Phần tử $a\in A$ được gọi là phần tử luỹ linh nếu tồn tại số $n\in\mathbb{N}$ sao cho $x^n=0$.
2. Vành $A$ nếu không có phần tử luỹ linh nào khác không được gọi là vành rút gọn.
3. Phần tử $a$ của $A$ được gọi là ước của không  nếu tồn tại phần tử $b\ne 0$ trong $A$ sao cho $ab=0$.
4. Một vành $A$ (khác 0) được gọi là miền nguyên nếu vành $A$ không có ước của không khác không.
5. Phần tử $a$ của $A$ được gọi là khả nghịch (ước của một) nếu tồn tại phần tử $b$ trong $A$ sao cho $ab=1$, dễ thấy phần tử $b$ được xác định duy nhất bởi $a$, ta kí hiệu $a^{-1}$.
6. Một vành $A$ (khác 0) được gọi là trường nếu mọi phần tử khác không đều khả nghịch.

 Hiển nhiên phần tử luỹ linh là ước của không nhưng không có chiều ngược lại. Dễ dàng kiểm tra được tập hợp tất cả phần tử luỹ linh tạo thành Ideal, ký hiệu là $\mathcal{R}$. Vành thương $A/\mathcal{R}$ là vành rút gọn.

Định nghĩa 2.7 Một Ideal $\mathfrak{p}$ của $A$ được gọi là Ideal nguyên tố nếu với mọi $x,y$ thuộc $A$ sao cho $xy\in \mathfrak{p}$ thì hoặc $x\in \mathfrak{p}$ hoặc $y\in \mathfrak{p}$.

Định lý sau  là điều kiện cần và đủ để một Ideal $\mathfrak{p}$ của $A$ là Ideal nguyên tố.

Định lý 2.8 $\mathfrak{p}$ là ideal nguyên tố của $A$ khi và chỉ khi $A/\mathfrak{p}$ là miền nguyên.

Chứng minh

Thật vậy, nếu $\mathfrak{p}$ là Ideal nguyên tố. Giả sử $(x+\mathfrak{p})(y+\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$ ta có\begin{align*}&xy+\mathfrak{p}=\mathfrak{p}\Longrightarrow xy\in \mathfrak{p}\Longrightarrow x\in \mathfrak{p}\text{ hay } y\in \mathfrak{p}\\\Longrightarrow &x+\mathfrak{p}=\mathfrak{p}\text{ hay } y+\mathfrak{p}=\mathfrak{p}\end{align*} Vậy $A/\mathfrak{p}$ là miền nguyên.

Ngược lại, nếu $A/\mathfrak{p}$ là miền nguyên. Lấy $x,y\in A$ sao cho $xy\in \mathfrak{p}$, ta có:\begin{align*}xy+\mathfrak{p}=\mathfrak{p}\Longrightarrow x+\mathfrak{p}=\mathfrak{p}\text{ hay } y+\mathfrak{p}=\mathfrak{p}\Longrightarrow x\in \mathfrak{p}\text{ hay } y\in \mathfrak{p}\end{align*}Do đó $\mathfrak{p}$ là Ideal nguyên tố.

Tập hợp tất cả Ideal nguyên số của $A$ được gọi là $Spec(A)$. ( Bài báo cáo này hướng tới xây dựng cấu trúc topo trên tập hợp này). Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.9 Giao của tất cả Ideal nguyên tố của $A$ chính là $\mathcal{R}$.

(Tham khảo chứng minh ở Introduction to Commutative Algebra, Atyah, Mc Donald, preposition 1.8)

Cho vành $A$ và $\mathfrak{a}$ là một Ideal, ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.10. Căn của Ideal $\mathfrak{a}$, ký hiệu là $r(\mathfrak{a})$ được xác định như sau\begin{align*}r(\mathfrak{a})=\left\{x\in A: x^n\in \mathfrak{a}\text{ với $n$ nào đó}\right\}\end{align*}

Chứng minh được $r(\mathfrak{a})$ mà một Ideal và nó là giao của các Ideal nguyên tố chứa $\mathfrak{a}$. Mệnh đề sau nói

Mệnh đề 2.11

Cho $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ là Ideal của vành $A$. Khi đó, ta có:

1. $\mathfrak{a}\subset r(\mathfrak{a})$
2. $r\left(r(\mathfrak{a})\right)=r(\mathfrak{a})$
3. $r(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=r\left(\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}\right)=r(\mathfrak{a})\cap r(\mathfrak{b})$
4. $r(\mathfrak{a})=(1)\Longleftrightarrow \mathfrak{a}=(1)$
5. $r(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})=r\left(r(\mathfrak{a})+r(\mathfrak{b})\right)$
6. Nếu $\mathfrak{a}$ là Ideal nguyên tố thì $r\left(\mathfrak{a}^n\right)=r(\mathfrak{a})$ 

2.4 Module

Cho vành $A$. Ta định nghĩa một $A-$module là một nhóm cộng Abel $M$ cùng với ánh xạ $\varphi:A\times M\longrightarrow M$ (ở đây ta sẽ kí hiệu $\varphi\left(a,m\right)=am$) thoả mãn các tính chất sau: với mọi $a,b\in A;x,y\in M$ thì

1. $a(x+y)=ax+ay$
2. $(a+b)x=ax+bx$
3. $(ab)x=a(bx)$
4. $1.x=x.$

Định nghĩa 2.12 Cho $M$ là một $A-module$.

1. Nhóm con $M'$ của $M$ đóng với phép nhân các phần tử trong $A$ được gọi là $A-module$  con của $M$. $A-module$ con thực sự của $M$ là $A-module$ con khác $M$. .$A-module$ con $M'$ của $M$ được gọi là tối đại nếu không tồn tại $A-module$ con thực sự của $M$ chứ $M'$.
2. $M/ M'$ cũng cảm sinh cấu trúc $A-module$ và được gọi là một $A-module$ thương của $M$.

Ánh xạ $\pi:M\to M/ M'$  cho ta tương ứng $1-1$ giữa các $A-module$ con của $M$ chứa $M'$ và các $A-module$ con của $M/ M'$.

Định nghĩa 2.13  Một $A-module$ được gọi là $A-module$ đơn khi nó chỉ có $2$ module tầm thường là $0$ và chính nó.

Từ định nghĩa trên ta thấy: Nếu $M/ M'$ là một module đơn thì $M'$ là module con tối đại của $M$.

Cho $x$ là một phần tử của $M$, tập tất cả các bội $ax$ $(a\in A)$ là một module con của $M$, kí hiệu là $Ax$ hay $(x)$. Nếu $M=\sum_{i\in I}Ax_i$ thì $S=\{x_i,i\in I\}$ được gọi là tập sinh của $M$. Nói một cách nôm na, mọi phần tử của $M$ đều có thể biểu diễn tuyến tính (không nhất thiết duy nhất) qua $S$ với hệ tử trong $A$. Module có một tập sinh hữu hạn thì được gọi module hữu hạn sinh.

Mệnh đề 2.14  Một $A-module$ $M$ là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với một thương của $A^n$ với $n$ nào đó.

Chứng minh

Nếu $M$ là một module hữu hạn sinh. Gọi $x_1,...,x_n$ là một hệ sinh của $M$. Ta định nghĩa

\begin{align*}\phi:A^n&\to M\\(a_1,...,a_n)&\mapsto a_1x_1+...+a_nx_n\end{align*}

Ta thấy $\phi$ là một toàn cấu $A-module$ nên $A^n/ ker f\cong M$.

Ngược lại, nếu $\phi:A^n\to M$ là một toàn cấu $A-module$. Với $i=1,...,n$ ta đặt $e_i=(0,...,0,1,0,...,0)\in A^n$ ($1$ nằm ở vị trí thứ $i$). Thế thì các phần tử $e_i$ là một hệ sinh của $A^n$. Do $\phi$ là một toàn cấu nền $\phi(e_i),i=1,...,n$ là một hệ sinh của $M$.

Định nghĩa 2.15 (Dãy khớp) Dãy các $A-module $ và các tự đồng cấu $A-module$ $$...\longrightarrow M_{i-1}\overset{f_i}{\longrightarrow}M_i\overset{f_{i+1}}{\longrightarrow}M_{i+1}\longrightarrow ..... $$ được gọi là khớp tại $M_i$ nếu $Im\left(f_i\right)=Ker\left(f_{i+1}\right)$. Dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi $M_i$.

Từ định nghĩa ta có một số điều sau:

1. $0\longrightarrow M'\overset{f}{\longrightarrow}M$ là khớp khi và chỉ khi $f$ là đơn ánh.
2.  $M\overset{g}{\longrightarrow }M''\longrightarrow  0$ là khớp khi và chỉ khi $g$ là toàn ánh.
3.  $0\longrightarrow M'\overset{f}{\longrightarrow}M\overset{g}{\longrightarrow }M''\longrightarrow 0$ là khớp khi và chỉ khi $f$ là đơn cấu, $g$ toàn cấu và $g$ cảm sinh một đẳng cấu từ $Coker\left(f\right)=M/f(M')$ lên $M''$ (hay $Im(f)=ker(g)$)

3.  Điều kiện dây chuyền

Xét tập $\Sigma$ có một quan hệ thứ tự $\leq$.

Mệnh đề 3.1 Trên $(\Sigma,\leq)$, các mệnh đề sau tương đương:

1. Mỗi dây chuyền tăng $x_1\le x_2\le...$ trong $\Sigma$ đều dừng. (nghĩa là tồn tại $n\in \mathbb{N}: x_k=x_n, \forall k\ge n$)
2. Mọi tập con khác rỗng của $\Sigma$ đều có phần tử cực đại.

Chứng minh

$(1.)\Rightarrow (1.)$ Giả sử tồn tại một tập con khác rỗng $T$ trong $\Sigma$ không có phần tử cực đại, lúc đó ta có thể xây dựng một dây chuyền tăng ngặt trong $T$ mà không dừng.

$(2.)\Rightarrow (1.)$ Giả sử mọi tập con khác rỗng của $\Sigma$ đều có phần tử cực đại. Xét một dây chuyền tăng $x_1\le x_2\le...$ trong $\Sigma$. Khi đó tập $(x_m)_{m\ge 1}$ có phần tử lớn nhất, gọi là $x_n$. Lúc đó $x_n=x_{n+1}=...$

Định nghĩa 3.2 

1. $M$ được gọi là A-module Noether nếu mọi dây chuyền tăng các module con của $M$ đều dừng (nghĩa là với mọi dây chuyền tăng $$M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset ...$$ luôn tồn tại một chỉ số $n\in \mathbb{N}$ sao cho $M_k=M_n, \forall k\ge n$) (người ta thường gọi điều kiện này là a.c.c). Theo mệnh đề 3.1, ta có một định nghĩa tương đương như sau: $M$ là module Noether khi và chỉ khi mọi họ khác rỗng các module con của $M$ đều có phần tử cực đại 
2. $M$ được gọi là module Artin nếu mọi dây chuyền giảm các module con của $M$ đều dừng (tương tự điều kiện này là d.c.c).   Lại theo mệnh đề 3.1, hiển nhiên $M$ là module Artin khi và chỉ khi mọi họ khác rỗng các module con của $M$ đều có phần tử cực tiểu.

Các điều kiện a.c.c và d.c.c gọi chung là điều kiện dây chuyền. Để dễ hình dung, ta đi đến một số ví dụ cụ thể

Ví dụ 3.3 Ta đã biết một bộ phận của vành giao hoán $A$ bất kì là $A-module$ khi và chỉ khi nó là ideal của $A$

1. Trường $k$ chỉ có 2 ideal là $(0)$ và $k$, lúc đó $k-module$ là module Noether (cũng là module Artin) vì nó chỉ có một $k-module$ con duy nhất (là 0)
2.  Một nhóm Abel hữu hạn (có thể coi là $Z-module$) đều là module Noether và module Artin
3. Vành số nguyên $Z$ ($Z-module$) là module Noether. Thật vậy, lấy bất kì một dây chuyền tăng ngặt các ideal $I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq ...$ trong $\mathbb{Z} $. Khi đó $I_1=(a)$ với số nguyên $a$ nào đó trong $\mathbb{Z}$. Do đó có hữu hạn các ideal trong $\mathbb{Z}$ chứa $I_1$ vì chúng tương ứng với hữu hạn các ideal trong $\mathbb{Z}/(a)$.  Mặt khác, $\mathbb{Z}$ không là module Artin, vì tồn tại một dây chuyền giảm vô hạn các ideal $$\mathbb{Z} \supsetneq 2\mathbb{Z} \supsetneq 4\mathbb{Z} \supsetneq 8 \mathbb{Z} \supsetneq...$$
4. Vành $k[x]$ ($k$ là trường) là module Noether (vì $k[x]$ là vành chính) nhưng không là module Artin (chẳng hạn $(x)\supsetneq (x^2) \supsetneq (x^3)\supsetneq...$)
6. Đặt $R=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} k[x_1,x_2,...,x_n]$ là vành đa thức trên $k$ với đếm được biến. Khi đó $R$ đều không là module Noether và module Artin vì tồn tại các dây chuyền vô hạn các ideal   $$(x_1)\subsetneq (x_1,x_2)\subsetneq (x_1,x_2,x_3)\subsetneq...\  \text{và} \  (x_1)\supsetneq (x_1^2) \supsetneq (x_1^3)\supsetneq...$$
7. Không gian vector $V$ trên trường $k$ là module Noether trên $k$ nếu số chiều của $V$ là hữu hạn.\

Ta đã biết, một không gian vector trên trường có số chiều hữu hạn thì các không gian vector con của nó cũng có số chiều hữu hạn. Nhưng module thì khác, nếu $N$ là một module con của module hữu hạn sinh $M$ trên vành $A$ thì $N$ không nhất thiết phải hữu hạn sinh. Vậy điều gì sẽ xảy ra nếu mọi module con của $M$ đều hữu hạn sinh?

Mệnh đề 3.4 $M$ là một Noether $A-$module $\Leftrightarrow$ mọi module con của $M$ đều hữu hạn sinh.

Chứng minh

($\Rightarrow$) Lấy $N$ là một module con của $M$, gọi $\Sigma$ là tập tất cả các module con hữu hạn sinh của $N$. Khi đó $\Sigma \ne \emptyset$ (vì $0\in \Sigma$) và do $M$ là một module Noether nên $\Sigma$ có phần tử cực đại, gọi nó là $N_0$. Ta chứng minh $N_0=N$, giả sử $N_0\ne N$ lúc đó tồn tại $x\in N$ mà $x\notin N_0$. Xét module con $N_0+Ax$ của $N$, đây là một module hữu hạn sinh và chứa $N_0$, mâu thuẫn. Vậy $N=N_0$ là hữu hạn sinh.

($\Leftarrow$) Lấy bất kì một dây chuyền tăng các module con của $M$

$$M_1 \subset M_2 \subset M_3 \subset...$$

Khi đó $N=\bigcup_{n=1}^{\infty}M_n$ là một module con của $M$, do đó $N$ là hữu hạn sinh. Gọi $x_1,x_2,...x_r$ là một tập sinh hữu hạn của $N$ và giả sử $x_i\in M_{n_i}$. Khi đó đặt $n=max_{i=1}^n n_i$. Khi đó $M_n$ chứa tất cả các phần tử sinh này, như vậy $M_n=N$ và do đó $M_k=M_{k+1}=...$

Từ mệnh đề trên, ta dễ dàng suy ra mọi vành chính là module Noether trên chính nó vì mọi ideal đều sinh bởi một phần tử.

Nhìn chung, để nhận biết một $A-$module M là Noether có vẻ phức tạp vì phải kiểm tra toàn bộ các module con của nó có hữu hạn sinh hay không. Mệnh đề dưới đây là một kết quả cực kì quan trọng, cho phép ta nhận biết một module Noether thông qua những module Noether đã biết khác. 

Mệnh đề 3.5 Cho dãy khớp của $A-$module

$$ 0 \to M'\overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} M''\to 0$$

Khi đó:

1. $M$ là module Noether $\Leftrightarrow$ $M'$ và $M''$ là module Noether.
2. $M$ là module Artin $\Leftrightarrow$ $M'$ và $M''$ là module Artin.

Chứng minh

Ta chỉ chứng minh 1.; 2. sẽ được chứng minh tương tự.

Đầu tiên, ta đã biết $\alpha$ là đơn ánh, $\beta$ là toàn ánh.

($\Rightarrow$) Một dây chuyền tăng các module con của $M'$ (tương ứng trong $M''$) qua $\alpha$ (tương ứng qua $\beta^{-1}$) cho ta một dây chuyền tăng trong $M$ nên là dừng.\\

($\Leftarrow$) Lấy $(M_n)_{n\ge 1}$ là một dây chuyền tăng các module con trong $M$, khi đó $(\alpha^{-1}(M_n))$ là một dây chuyền tăng trong $M'$ và $(\beta(M_n))$ là một dây chuyền tăng trong $M''$ nên đều dừng.

Xét các dãy các $A-module$ và các đồng cấu $A-module$.

$$ 0 \to \alpha^{-1}(M_n) \overset{\alpha_n}{\longrightarrow} M_n \overset{\beta_n}{\longrightarrow} \beta(M_n) \to 0\ \ \ (*) $$

với $\alpha_n=\alpha \vert_{\alpha^{-1}(M_n)},\beta_n=\beta \vert_{M_n}$\\

Ta sẽ chứng minh với mọi $n\in N$ thì $(*)$ là dãy khớp. Thật vậy, $(*)$ là khớp tương đương với $\alpha_n$ là đơn ánh, $\beta_n$ là toàn ánh và $Im\left(\alpha_n\right)=Ker\left(\beta_n\right)$. Ta thấy hiển nhiên $\alpha_n$ là đơn ánh và $\beta_n$ là toàn ánh nên ta chỉ cần chứng minh $$Im\left(\alpha_n\right)=Ker\left(\beta_n\right)$$

Lấy $y\in Im\left(\alpha_n \right)$, vì $Ker\left(\alpha\right)=Im\left(\beta\right)$ (do dãy ban đầu là khớp) nên.

\begin{align*}&\left\{\begin{matrix}&y\in M_n\\&y\in Ker\left(\beta\right)\end{matrix}\right.\\\Longrightarrow&y\in Ker\left(\beta_n\right) \\\Longrightarrow&Im\left(\alpha_n\right)\subset Ker\left(\beta_n\right)\end{align*}

Ngược lại lấy $x\in Ker\left(\beta_n\right)$ ta có \begin{align*}&x\in M_n,x\in Ker\left(\beta\right)\\\Longrightarrow &x\in M_n,x\in Im\left(\alpha\right)\\\Longrightarrow&\exists x'\in M:x\in M_n,x=\alpha\left(x'\right)\\\Longrightarrow &x'\in \alpha^-1\left(M_n\right):x=\alpha\left(x'\right)\\\Longrightarrow &x\in Im\left(\alpha_n\right) \\\Longrightarrow &Ker\left(\beta_n\right)=Im\left(\alpha_n\right)\end{align*}

Tóm lại, $Im\left(\alpha_n\right)=Ker\left(\beta_n\right)$ và dãy $(*)$ là khớp với mọi $n\in \mathbb{N}$.

Trở lại bài toán, với $n$ đủ lớn, ta có đồng thời $\alpha^{-1}(M_n)=\alpha^{-1}(M_{n+1})=...;\beta(M_n)=\beta(M_{n+1})=...$

Ta sẽ chứng minh $$M_n=M_{n+1}=...$$ Thật vậy, xét các dãy khớp 

$$ 0 \to \alpha^{-1}(M_n) \overset{\alpha_n}{\longrightarrow} M_n \overset{\beta_n}{\longrightarrow} \beta(M_n) \to 0 $$

$$ 0 \to \alpha^{-1}(M_{n+1}) \overset{\alpha_{n+1}}{\longrightarrow} M_{n+1} \overset{\beta_{n+1}}{\longrightarrow} \beta(M_{n+1}) \to 0 $$

Ta có $ker\beta_n=\alpha(\alpha^{-1}(M_n))=\alpha(\alpha^{-1}(M_{n+1}))=ker\beta_{n+1}$

Lấy $x\in M_{n+1}$, do $\beta(M_n)=\beta(M_{n+1})$ nên tồn tại $y\in M_n$ sao cho $$\beta(x)=\beta(y)$$

Suy ra

\begin{align*}&\beta(x-y)=0\\\Longrightarrow &x-y\in ker\beta_{n+1}=ker\beta_n\\\Longrightarrow& x-y \in M_n\Longrightarrow x\in M_n\\\Longrightarrow& M_{n+1}\subset M_n\end{align*}

Bao hàm ngược lại là hiển nhiên do $(M_i)$ là dây chuyền nên $$M_n=M_{n+1}$$ 

Tới đây ta có điều phải chứng minh.

Dưới đây là một vài ứng dụng cơ bản của mệnh đề 3.5

Hệ quả 3.6 Nếu $M_i \ (1\le i \le n)$ là các module Noether (tương ứng Artin) trên $A$. Khi đó $\bigoplus_{i=1}^n M_i$ cũng là module Noether (tương ứng Artin).

Chứng minh 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $n$ với dãy khớp

$$ 0 \to M_n \to \bigoplus_{i=1}^n M_i \to  \bigoplus_{i=1}^{n-1} M_i \to 0 $$

- Với $n=1$ là trường hợp tầm thường.

- Giả sử mệnh đề trên đúng với $n=k-1$

- Với $n=k$ khi đó $M_n$ và $\bigoplus_{i=1}^{n-1} M_i$ đều là module Noether nên theo mệnh đề 2.5 ta có $\bigoplus_{i=1}^{n} M_i$ cũng là module Noether.

Hệ quả 3.7 Cho $N$ là một module con của $A-$module $M$. Khi đó: $M$ là module Noether (tương ứng Artin) khi và chỉ khi $N$ và $M/N$ là module Noether (tương ứng Artin)

Mệnh đề 3.8  Cho $A$ là một Noether $A-module$ (tương ứng Artin), $M$ là một $A-$module hữu hạn sinh. Khi đó $M$ là một module Noether (tương ứng Artin)

Chứng minh

Do $M$ là một $A-module$ hữu hạn sinh nên đặt $M=\langle m_1,m_2,...,m_k \rangle$ với $m_i\in M$. Khi đó đồng cấu vành $$\varphi : A^k \to M,\  (a_1,...,a_k) \longmapsto a_1m_1+...+a_km_k$$

là toàn ánh. Ta có dãy khớp sau

$$ 0 \to ker\varphi \to A^k \overset{\varphi}{\rightarrow} M \to 0 $$

Lại theo hệ quả 2.6, $A^k$ là module Noether và do đó theo mệnh đề 2.5 ta suy ra $M$ là module Noether.

Mệnh đề 3.9 Cho $A$ là một Noether $A-module$ (tương ứng Artin), $a$ là một ideal của $A$. Khi đó $A/a$ là một Noether $A/a-module$ (tương ứng Artin)

Định nghĩa 3.10 Cho $M$ là một $A-module$. Một chuỗi hợp thành của $M$ là một dây chuyền hữu hạn các module con của $M$

$$M=M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq ... \supsetneq M_n=0$$

sao cho với mỗi $i=1,...,n$ không tồn tại module con $N$ của $M$ mà $M_{i-1} \supsetneq N \supsetneq M_i$. Một phát biểu tương đương là mỗi module thương $M_{i-1}/M_i$ ($1\le i \le n$) chỉ chứa hai module con là 0 và chính nó.

Số $\textbf{n}$ được gọi là độ dài của chuỗi hợp thành.

Mệnh đề sau đây cho thấy độ dài của chuỗi hợp thành không phụ thuộc vào cách chọn dây chuyền module con của $M$.

Mệnh đề 3.11 Giả sử $M$ có một chuỗi hợp thành có độ dài $n$. Khi đó, mọi chuỗi hợp thành của $M$ đều có độ dài là $n$ và mọi dây chuyền trong $M$ có thể được làm mịn để trở thành một chuỗi hợp thành.

Chứng minh

Kí hiệu $l(M)$ là độ dài chuỗi hợp thành ngắn nhất của module $M$ ($l(M)=+\infty$ nếu $M$ không có chuỗi hợp thành nào).

Ta sẽ chứng minh mệnh đề này theo các bước sau:

1. Nếu $N\subsetneq M$ thì $l(N)<l(M)$. Gọi $(M_i)$ là một chuỗi hợp thành của $M$ mà có độ dài ngắn nhất, xét các module con $N_i=N\cap M_i$ của $N$.   Xét tương ứng $f:N_{i-1}/N_i \longrightarrow M_{i-1}/M_i$  $f(x+N_i)=x+M_i,\forall x\in N_{i-1}$.   Tương ứng trên là một ánh xạ. Thật vậy, nếu   \begin{align*}&x+N_i=y+N_i \in N_{i-1}/N_i\\\Rightarrow&x-y\in N_i \subset M_i \\\Rightarrow& x+M_i=y+M_i\end{align*}  Do đó $f$ là ánh xạ.Hơn nữa, $f$ là đơn ánh vì   \begin{align*}Kerf&=\{x+N_i:x\in N_{i-1}, x+M_i=0+M_i\}\\&=\{x+N_i:x\in N_{i-1}\subset N,x\in M_i\}\\&=\{x+N_i:x\in N, x\in M_i\}\\&=\{x+N_i:x\in N_i\}=\{0+N_i\}.\end{align*}  Do đó ta có thể đồng nhất $N_{i-1}/N_i $ như một $A-module$ con của $ M_{i-1}/M_i$ qua $f$ và vì $M_{i-1}/M_i$ là module đơn nên hoặc $N_{i-1}/N_i=M_{i-1}/M_i$ hoặc $N_{i-1}=N_i$.  Do đó, bỏ bớt những module trùng, ta được một chuỗi hợp thành của $N$ nên $$l(N)\le l(M).$$  Nếu $l(N)=l(M)=k$, khi đó $N_{i-1}/N_i=M_{i-1}/M_i$ với mỗi $i=1,...,k$; Với $i=k$, ta được $M_{k-1}=N_{k-1}$, tương tự $i=k-1$ suy ra $M_{k-2}=N_{k-2}$,..., cuối cùng ta được $M=N$. Do đó ta có đpcm.
2. Mọi dây chuyền các module con $(M_i)$ trong $M$ $$M=M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq ... \supsetneq M_k=0$$ đều có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng $l(M)$.  Theo 1. ta có $$l(M)>l(M_1)>...>l(M_k)=0$$ nên $$l(M)\ge k$$
3. Mọi chuỗi hợp thành của $M$ đều có độ dài là $n$ và mọi dây chuyền trong $M$ có thể được làm mịn để trở thành một chuỗi hợp thành.  Xét một chuỗi hợp thành bất kì trong $M$. Nếu nó có độ dài là $k$, khi đó $k\le  l(M)$ nên $k=l(M)$ do cách định nghĩa $l(M)$. Từ đây suy ra mọi chuỗi hợp thành đều có chung độ dài. Bây giờ, lấy một xích bất kì, nếu nó có độ dài là $l(M)$ thì nó là một chuỗi hợp thành (thật vậy, giả sử nó không là chuỗi hợp thành, khi đó có một vị trí $M_i\subset M_{i-1}$ mà tồn tại module con $N$ thoả $M_i\subsetneq N\subsetneq M_{i-1}$ Thêm N vào ta được một dây chuyền các module con của $M$ có độ dài lớn hơn $l(M)$, mâu thuẫn ii) . Còn nếu độ dài của nó nhỏ hơn $l(M)$, thì nó không là chuỗi hợp thành. Tuy nhiên, ở vị trí $M_{i-1}\supsetneq M_i$ nào đó chưa thoả $M_i$ là module cực đại trong $M_{i-1}$ thì ta có thể lấy module con $N$ là cực đại trong $M_{i-1}$ và chứa $M_i$. Nếu $M_i$ vẫn không là module cực đại trong $N$ thì ta tiếp tục làm như vậy cho tới khi nó đạt độ dài là $l(M)$. 

Như vậy, mệnh đề này chứng tỏ định nghĩa độ dài của một chuỗi hợp thành là tốt, dưới đây là một kết quả khác liên quan đến các điều kiện dây chuyền.

Mệnh đề 3.12 $M$ có một chuỗi hợp thành $\Leftrightarrow$ $M$ thoả hai điều kiện dây chuyền.

Chứng minh

Chiều thuận hiển nhiên vì mọi dây chuyền trong $M$ đều có độ dài hữu hạn, do đó thoả hai điều kiện dây chuyền. Ta chứng minh chiều nghịch

Vì $M=M_0$ thoả điều kiện a.c.c nên có một module con cực đại $M_1$, tương tự $M_1$ có module con cực đại $M_2$, và cứ như thế. Ta được một dây chuyền giảm $$M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq M_2  \supsetneq ...$$ thoả điều kiện d.c.c nên phải dừng, tức độ dài dây chuyền này là hữu hạn, do đó nó là một chuỗi hợp thành của $M$.

Sau đây chúng ta sẽ thấy độ dài của một module có tính chất tương tự như số chiều của không gian vector khi ta lấy tổng, giao,  thương, ảnh và hạt nhân.

Mệnh đề 3.13 Độ dài module $M$ có tính cộng tính trên lớp tất cả các $A-$module có độ dài hữu hạn.

Chứng minh 

Xét dãy khớp 

$$ 0 \to M' \overset{\alpha}{\rightarrow} M \overset{\beta}{\rightarrow} M'' \to 0 $$

Ta sẽ chứng minh $l(M)=l(M')+l(M'')$.

Thật vậy, đặt $l(M')=k,l(M'')=m$. Gọi $$M'=M'_0 \supsetneq M'_1 \supsetneq ...\supsetneq M'_k=0$$ và $$M''=M_0 \supsetneq M''_1 \supsetneq ...\supsetneq M''_m=0$$ lần lượt là chuỗi hợp thành của $M'$ và $M''$. 

Lúc đó $$0=\alpha(M'_k) \subsetneq ... \subsetneq \alpha(M'_1) \subsetneq \alpha (M')=Im\alpha=ker\beta = \beta^{-1}(0) \subsetneq ...\subsetneq \beta^{-1}(M'')=M$$

là một chuỗi hợp thành của $M$. Nên $$l(M)=k+m=l(M')+l(M'').$$

Hệ quả 3.14 Với mỗi module con $N$ của $A-$module $M$, ta có 

$$l(N)+l(M/N)=l(M)$$

4. Vành Noether 

Trước hết ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 4.1 Cho vành A, khi đó các điều điện sau tương đương:

1. Mọi tập khác rỗng các ideal trong $A$ đều có phần tử tối đại.
2. Mọi dây chuyền tăng các ideal trong $A$ đều dừng.
3. Mọi ideal trong $A$ đều hữu hạn sinh.

 Chứng minh

Hai mệnh đề $1.$ và $2.$ là tương đương do Mệnh đề (3.1). Ta sẽ chứng minh $\left(1.\Longrightarrow 3.\right)$ và $\left(3.\Longrightarrow2.\right)$. Giả sử mọi tập khác rỗng các ideal của $A$ đều có phần tử tối đại. Gọi $I$ là Ideal bất kì. Nếu $I=A$ thì $I=(1)$. Xét $I\ne A$ và gọi $\Sigma$ là tập con ideal hữu hạn sinh của $A$ chứa trong $I$. Khi đó  $\Sigma$ khác rỗng vì $I\in \Sigma$. Do đó $\Sigma$ có phần tử tối đại là $I_o$. Ta chứng minh $I_o=I$. Thật vậy, giả sử phản chứng $I_o \subsetneq I$. Khi đó có $x\in I$ sao cho $ x\notin I_o$. Ta có $J=I_o+\langle x\rangle \in \Sigma$ là chứa $I_o$ (bao hàm chặt). Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của $I_o$. Do đó $I_o=I$. Vây $I$ là hữu hạn sinh.

 Ngược lại nếu mọi Ideal của $A$ đều là hữu hạn sinh. Xét một dây chuyền các tăng các Ideal $I_1\subset I_2\subset ....$. Nếu có $n\in \mathbb{N}$ sao cho $I_n=A$ thì $I_n$ là phần tử tối đại của dây chuyền. Nếu với mọi $n\in \mathbb{N}: I_n\subsetneq A$. Đặt $I=\bigcup_{n=1}^\infty U_n$ là Ideal của $A$. Do đó $I$ là hữu hạn sinh. Giả sử $I=\langle a_1,..., a_n \rangle$. Với mỗi $i=1,.., n$ thì $a_{i}\in I_i$ nào đó. Lấy chỉ số $i_o$ là chỉ số lớn nhất trong các $i$ mà $a_i\in I_i$ thì $a_i\in I_{i_o}, \forall i=1,...,n$. Do đó dây chuyền trên là dừng. 

Vành $A$ thoả một trong ba điều kiện trên được gọi là vành Noether.
Ví dụ 4.2. 

1.  Mọi trường đều là vành Noether.
2. Mọi vành chính đều là vành Noether (vì mọi ideal đều sinh bởi 1 phần tử)
3. $k[x]$ ($k$ là trường) là vành Noether vì $k[x]$ là vành chính.
4. Vành đa thức đếm được biến $R=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} k[x_1,x_2,...,x_n]$ không là vành Noether (xem ví dụ 3), nhưng nó là miền nguyên, do đó có trường các thương. Từ đó suy ra vành con của vành Noether chưa chắc là vành Noether.

Mệnh đề 4.3.  Nếu $A$ là vành Noether và $\phi$ là một toàn cấu từ $A$ lên vành $B$. Khi đó $B$ là vành Noether.
Chứng minh
Ta có $B\cong A/ker(\phi)$, áp dụng mệnh đề 3.5 suy ra $B$ là vành Noether.
Mệnh đề 4.4  Cho $A$ là một vành con của $B$, giả sử $A$ là vành Noether, $B$ là một $A-module$ hữu hạn sinh. Khi đó $B$ là vành Noether.
Chứng minh
Theo mệnh đề 3.4, ta suy ra $B$ là một Noether $A-module$ nên $B$ là một Noether $B-module$ hay $B$ là vành Noether.

Ví dụ 4.5.  Giả sử $A=\mathbb{Z}$ là vành con của vành số nguyên Gauss $B=\mathbb{Z}[i]$. Hiển nhiên $\mathbb{Z}$ là vành Noether, $\mathbb{Z}[i]=\langle 1,i\rangle$ là $Z-module$ hữu hạn sinh. Theo mệnh đề 4.2, $\mathbb{Z}[i]$ là vành Noether.
Định lý 4.6 (Định lý Hilbert về cơ sở) Nếu $A$ là vành Noether, khi đó vành đa thức $A[x]$ là Noether.
Chứng minh
Ta chứng minh $A[x]$ là vành Noether bằng phản chứng. Giả sử $I\subset A[x]$ là ideal không hữu hạn sinh. Khi đó ta xây dựng chuỗi các phần tử $f_i\in I$ như sau: $f_0$ là đa thức khác không trong $I$ có bậc nhỏ nhất, và $f_{i+1}$ là đa thức của $I$ có bậc nhỏ nhất trong $I\setminus (f_0,f_1,...,f_i)$. Hiển nhiên $deg f_i\leq deg f_{i+1}$.
Với mỗi $i$, lấy $a_i\in A$ là hệ số bậc cao nhất của $f_i$, đặt $I_i=(a_o,...,a_i)\subset A$. Do $A$ là vành Noether nên dây chuyền các ideal $I_0\subset I_1 \subset ...$ trong $A$ là dừng. Do đó tồn tại $m$ sao cho $a_{m+1}\in (a_0,...,a_m)$. Suy ra $a_{m+1}=\Sigma^m_{i=0} r_ia_i$, xét đa thức 
$$f=f_{m+1}-\Sigma_{i=0}^m x^{deg f_{m+1}-deg f_i}r_if_i$$

Dễ thấy $f\in I\setminus (f_0,...,f_m)$, vì nếu $f\in (f_0,...,f_m)$ thì $f_{m+1}\in (f_0,...,f_m)$, vô lí. Nhưng theo cách xây dựng $f$, hệ số có bậc $deg f_{m+1}$ là 0 (dễ thấy do $a_{m+1}=\Sigma^m_{i=0} r_ia_i$), do đó $deg f < deg f_{m+1}$, mâu thuẫn với cách chọn $f_{m+1}$. Vậy $A[x]$ là vành Noether.
Hệ quả 4.7.   Nếu $A$ là vành Noether thì $A[x_1,...,x_n]$ cũng là vành Noether.
Trước khi đến một số kết quả khác, ta cần vài khái niệm như sau:
Định nghĩa 4.8  Một ideal $\mathfrak{q}$ của vành $A$ được gọi là \textbf{nguyên sơ} nếu $\mathfrak{q}\ne A$ và\\$xy\in \mathfrak{q}\Rightarrow x\in \mathfrak{q} \text{ hoặc } y^n\in \mathfrak{q}\text{ với } n>0 \text{ nào đó.}$
Định nghĩa 4.9  Một ideal $\mathfrak{a}$ của $A$ được gọi là \textbf{có phân tích nguyên sơ} nếu $\mathfrak{a}$ được biểu diễn thành giao hữu hạn các ideal nguyên sơ, hay $$\mathfrak{a}=\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{q}_i$$
Định nghĩa 4.10  Một ideal $\mathfrak{a}$ được gọi là bất khả quy nếu $$\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\cap \mathfrak{c}\Rightarrow (\mathfrak{a}=\mathfrak{b} \text{ hoặc }\mathfrak{a}=\mathfrak{c})$$
Bây giờ, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất trong vành Noether.
Bổ đề 4.11  Trong vành Noether $A$, mọi ideal đều là giao của hữu hạn các ideal bất khả quy
Chứng minh
Giả sử phản chứng, khi đó tập $$\Sigma=\{\mathfrak{p}\subset A| \mathfrak{q} \text{ không là giao hữu hạn của các ideal bất khả quy}\}\ne \varnothing$$

Do $A$ là vành Noether nên $\Sigma$ có phần tử cực đại, gọi là $\mathfrak{a}$. Hiển nhiên $\mathfrak{a}$ không bất khả quy (bởi nếu $\mathfrak{a}$ bất khả quy thì $\mathfrak{a}\notin \Sigma$). Do đó $\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\cap \mathfrak{c}$ với $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{b}$ và $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{c}$. Mặt khác $\mathfrak{a}$ là phần tử cực đại của $\Sigma$ nên $\mathfrak{b},\mathfrak{c}\notin \Sigma$  hay $\mathfrak{b},\mathfrak{c}$ là giao hữu hạn của các ideal bất khả quy, và do đó $\mathfrak{a}$ cũng là giao hữu hạn của các ideal bất khả quy, mâu thuẫn.
Bổ đề 4.12  Trong vành Noether, mọi ideal bất khả quy đều nguyên sơ.
Chứng minh 
Xét vành Noether $A$.
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh nếu ideal $(0)$ là bất khả quy thì $(0)$ là nguyên sơ. Lấy $xy=0$ với $y\ne 0$, xét dây chuyền các ideal $Ann(x)\subseteq Ann(x^2)\subseteq...$ Do $A$ vành Noether nên dây chuyền này dừng, tức tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $Ann(x^n)=Ann(x^{n+1})=...$. Ta chứng minh $(x^n)\cap (y)=0$, thật vậy giả sử $a\in (x^n)\cap (y)$, $a\in (y)\Rightarrow ax=0$ (do $xy=0$), $a\in (x^n)\Rightarrow a=bx^n$, nên $0=ax=bx^{n+1}\Rightarrow b\in Ann(x^{n+1})=Ann(x^n)\Rightarrow bx^n=0$, hay $a=0$
Vì $(0)$ là bất khả quy nên $0=(x^n)\cap (y)$ và $(y)\ne 0$ suy ra $x^n=0$. Điều này chứng tỏ $(0)$ là nguyên sơ.

Bây giờ, lấy ideal bất khả quy $\mathfrak{a}$ bất kì của $A$, khi đó ideal $\overline{(0)}$ của $A/\mathfrak{a}$ là bất khả quy, theo chứng minh trên ta có $\overline{(0)}$ là nguyên sơ. Suy ra $\mathfrak{a}$ nguyên sơ. (Do $\mathfrak{a}$ là ảnh ngược của $\overline{(0)}$ qua toàn cấu chính tắc $\pi$)
Từ hai bổ đề trên, ta dễ dàng suy ra được định lí sau.
Định lý 4.13  Trong vành Noether $A$, mọi ideal đều có phân tích nguyên sơ.
Mệnh đề 4.14  Trong vành Noether $A$, mọi ideal $\mathfrak{a}$ chứa luỹ thừa căn của nó nghĩa là $\forall \mathfrak{a}\subset A: \mathfrak{a}\supseteq (r(a))^m$ với $m$ nào đó.
Chứng minh
Vì $r(\mathfrak{a})$ là ideal của vành Noether $A$ nên $r(\mathfrak{a})$ hữu hạn sinh, lấy $x_1,...,x_k$ là hệ sinh của $r(\mathfrak{a})$, ta có $x_i^{n_i}\in \mathfrak{a}$. Lấy $m=\Sigma_{i=1}^k (n_i-1)+1$. Khi đó $r(\mathfrak{a})^m$ sinh bởi tích $x_1^{r_1}...x_k^{r_k}$ với $\Sigma r_i=m$. Dễ thấy tồn tại một chỉ số $i$ để $r_i\geq n_i$ (bởi nếu điều ngược lại xảy ra sẽ mâu thuẫn theo cách chọn $m$), khi đó $x_i^{r_i}\in \mathfrak{a}$ nên $x_1^{r_1}...x_k^{r_k}\in \mathfrak{a}$. Từ đó suy ra $r(\mathfrak{a})^m\subseteq \mathfrak{a}$.
Hệ quả 4.15 Trong vành Noether, căn không là luỹ linh.

5. Vành Artin

Một vành $A$ được gọi là vành Artin nếu mọi tập khác rỗng các ideal trong $A$ đều có phần tử cực tiểu. (hoặc mọi dây chuyền giảm các ideal trong $A$ đều dừng).
Mệnh đề 5.1  Trong vành Artin $A$, mọi ideal nguyên tố đều cực đại.
Chứng minh 
Lấy $\mathfrak{p}$ là ideal nguyên tố của $A$. Khi đó $B=A/\mathfrak{p}$ là miền nguyên, mà $A$ thoả điều kiện d.c.c nên $A/\mathfrak{p}$ cũng vậy, do đó $B$ là miền nguyên Artin. Lấy $x\in B,x\ne 0$, do điều kiện d.c.c nên dây chuyền $(x)\supseteq (x^2)\supseteq...$ dừng, suy ra $(x^n)=(x^{n+1})$ với $n$ nào đó, nên $x^n=x^{n+1}y,y\in B$. Lại có $B$ là miền nguyên và $x\ne 0$ nên từ đẳng thức trên suy ra $xy=1$, suy ra $x$ khả nghịch trong $B$, do đó $B$ là trường. Vậy $\mathfrak{p}$ là ideal cực đại.
Hiển nhiên dẫn ta đến hệ quả sau
Hệ quả 5.2 Trong vành Artin căn không bằng với căn Jacoson.
Chứng minh 
Do căn không là giao của tất cả các ideal nguyên tố, còn căn Jacoson là giao của tất cả các ideal cực đại.
Mệnh đề 5.3   Vành Artin có hữu hạn các ideal tối đại.
Chứng minh 
Xét tập tất cả các giao hữu hạn $\mathfrak{m}_1\cap...\cap \mathfrak{m}_r$, với $\mathfrak{m}_i$ là ideal cực đại. Tập hợp này có phần tử cực tiểu, gọi là $\mathfrak{m}_1\cap...\cap \mathfrak{m}_n$. Khi đó với mọi ideal cực đại $\mathfrak{m}$ ta đều có $\mathfrak{m}\cap \mathfrak{m}_1\cap ...\cap \mathfrak{m}_n=\mathfrak{m}_1\cap ...\cap \mathfrak{m}_n$ và do đó $\mathfrak{m}\supseteq \mathfrak{m}_1\cap ...\cap \mathfrak{m}_n$. Theo định lí (!!) $\mathfrak{m}\supseteq \mathfrak{m}_i$ nào đó, do tính cực đại nên $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_i$. Điều này chứng tỏ vành Artin chỉ có hữu hạn các ideal cực đại.
Dưới đây là một tính chất tương tự vành Noether.
Mệnh đề 5.4   Trong vành Artin, căn không là luỹ linh.
Định lý 5.5 (Định lý Hopkins)  $A$ là vành Artin $\Leftrightarrow$ $A$ là vành Noether và mọi ideal nguyên tố đều tối đại.
Chứng minh
Giả sử $A$ là vành Artin. Theo \textbf{Định lý \ref{(5.1)}} thì mọi ideal nguyên tố đều là cực đại. Gọi $\mathfrak{m}_i$ là các Ideal cực đại của $A$ (do vành Artin có hữu hạn các Ideal). Ta có $\prod^n_{i=1}\mathfrak{m}^k_i\subset \left(\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{m}_i\right)^k=\mathfrak{R}^k=0$. Đó đó theo \textbf{Hệ quả \ref{(3.5)}} thì $A$ là vành Noether. \\Ngược lại, nếu $A$ là vành Noether và mọi Ideal nguyên tố của $A$ đều tối đại. Khi đó $0$ có phân tích nguyên sơ
Mệnh đề 5.6  Cho $(A,\mathfrak{m})$ là vành Noether địa phương. Khi đó một trong hai khẳng định sau là đúng:

1. $\mathfrak{m}^n\ne \mathfrak{m}^{n+1}$ với mọi $n$.
2. $\mathfrak{m}^n=0$, với $n$ nào đó, trong trường hợp này $A$ là vành Artin địa phương.

Và cuối cùng là định lí quan trọng nhất, mô tả cấu trúc vành Artin.
Định lý 5.7   Một vành Artin $A$ là tích trực tiếp của hữu hạn các vành Artin địa phương (theo nghĩa đẳng cấu)