Một số bài toán hình học nền tảng

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một số bài toán hình học sơ cấp, đây cũng là một số kiến thức có ích để bạn có thể đi sâu hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học sơ cấp

 Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$ và trọng tâm $G$.  Chứng minh rằng $\widehat{BAH}=\widehat{CAO}$ và $\overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GO}$

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ và ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle DEF$. $\triangle DEF$ gọi là tam giác chỉnh hình của $\triangle ABC$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Tia $AI$ cắt $(ABC)$ tại $L$. Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $L$. Chứng minh rằng:

1. $LI=LB=LC=LI'$.
2. $I'A,I'C$ là phân giác ngoài của tam giác $ABC$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$. Trên các đường thẳng chứa các cạch $BC,CA,AB$ ta lần lượt lấy các điểm $D,E,F$. Chứng minh rằng $(AEF),(BDF),(CDE)$ cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là điểm Miquel của tam giác.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ và một đường thẳng cắt các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$.  Chứng minh $(ABC),(ANP), (BPM), (CMN)$ cùng đi qua một điểm.

Bài 6. Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ thuộc đường tròn. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ các tuyến $MCD$ với $(O)$. Chứng minh rằng $\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{BP}{BQ}$.

Bài 7.  Cho tam giác $ABC$. Trên đường thẳng chứa các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$. Chứng minh rằng nếu $M,N,P$ thẳng hàng thì $\dfrac{MB}{MC}\dfrac{PA}{PB}.\dfrac{NC}{NA}=1$.

Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác lần lượt lấy các điểm $M,N,P$. Chứng minh rằng nếu $AM,BN,CP$ đồng quy thì \begin{align*}\dfrac{MB}{MC}\dfrac{PA}{PB}.\dfrac{NC}{NA}=1.\end{align*}

Bài 9. Cho tam giác $AEF$. Trên các cạnh $AE,AF$ lần lượt lấy các điểm $B,C$. Các đường thẳng $BF,CE$ cắt nhau tại $D$. Các đường thẳng $AD,BC$ cắt đường thẳng $EF$ tại $I$ và $H$. Chứng minh rằng $\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{IE}{IF}$.

Bài 10. Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng $(AB\cap DE), (BC\cap EF)$ và $(AF\cap CD)$ đồng quy.

Bài 11. Cho lục giác $ABCDEF$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $AD,BE,CF$ đồng quy.