Bảng xét dấu:

Ta thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1: Đưa hàm số đã cho về tích của các biểu thức bậc nhất và bậc hai.

Bước 2: Xác định nghiệm và số bội của nghiệm. Ví dụ: $(x-1)^2$  thì $1$ là nghiệm bội $2$, $\dfrac{(x-3)^2}{(x-3)^3}$ thì $3$ coi như nghiệm bội $1=|2-3|$ còn riêng $x-2$ thì $2$ coi như bội $1$,..

Bước 3: Kẻ bảng xét dấu gồm có 2 dòng:

- dòng đầu: $x$, liệt kê $-\infty, +\infty$ và tất cả các nghiệm theo thứ tự từ bé đến lớn.

- dòng $f(x)$: Xác định dấu từng khoảng từ phải sang trái với quy tắc: 

    + Dấu của khoảng ngoài cùng là dấu tích các hệ số cao nhất của từng biểu thức đang có.

    + Qua một nghiệm bội chẵn, dấu được giữ nguyên. Còn qua nghiệm bội lẻ, dấu bị đổi: $-$ thành $+$ và $+$ thì phải thành $-$.

    + Ứng với nghiệm của mẫu, ta ghi $||$, còn chỉ là nghiệm của tử thì $f(x)$ nhận giá trị $0$.

Khoá luận tốt nghiệp ĐHSP

Phổ của đồng cấu vành
" Khối sắt lớn muốn tạo được thanh bảo kiếm thì phần dư thừa phải bỏ đi hết!"

Bài 2.3 đề HKII 2014-2015

Bài toán:Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên $(C)$ những điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với đường thẳng $y=2$ và $x=1$  một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\sqrt{2}$.

Module xạ ảnh

Bài viết này ta sẽ tìm hiểu về một loại module tổng quát hơn của module tự do: module xạ ảnh.

Giới hạn thuận của Module

Trong đại số giao hoán, một dây chuyền $A-module$ có thể xây dựng $A-module$ nhận các $A-module$ trên làm $A-module$ con. Tuy nhiên, trong trường hợp các $A-module$ tuỳ ý, việc xây dựng  $A-module$ trên dẫn tới việc gần giống như lấy giới hạn. Từ đây một công cụ mới được ra đời: Giới hạn thuận.

Định lý về sự bị chặn của các nghiệm thực của một đa thức

Định lý: Cho đa thức $P(x)=a_o+a_1x+...+a_nx^n$. Gọi $x_o$ là nghiệm thực tuỳ ý của $P(x)$. Khi đó
$$|x_o|\le 1+M$$
với $M=\max_{0\le i\le n-1}\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|$.

Bài 2 TST 2019

Bài toán: (Việt Nam TST 2019) Với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức sau đây
$$P_n(x)=\sum^n_{i=0}C^{2k}_{2n}2^k.x^k.(x-1)^{n-k}$$
có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt.