Định lý về sự bị chặn của các nghiệm thực của một đa thức

Định lý: Cho đa thức $P(x)=a_o+a_1x+...+a_nx^n$. Gọi $x_o$ là nghiệm thực tuỳ ý của $P(x)$. Khi đó
$$|x_o|\le 1+M$$
với $M=\max_{0\le i\le n-1}\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|$.

Chứng minh
Kết quả là tầm thường nếu $|x_o|\le 1$. Do đó ta chỉ xét $|x_o|>1$.  Vì $x_o$ là nghiệm của $P(x)$, nên

$a_nx_o^n+...+a_1x_o+a_o=0$

$\Longrightarrow a_o+a_1x_o+...+a_{n-1}x_o^{n-1}=-a_nx_o^n$

$\Longrightarrow |x_o|^n=\left|\dfrac{a_o}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_n}x_o+...+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}x_o^{n-1}\right|$

Từ đó suy ra

$|x_o|^n\le \left|\dfrac{a_o}{a_n}\right|+\left|\dfrac{a_1}{a_n}\right|.|x_o|+...+\left|\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\right|.|x_o|^{n-1}$

$\le M\left(1+|x_o|+|x_o|^2+...+|x_o|^{n-1}\right)=M\dfrac{|x_o|^n-1}{|x_o|-1}<\dfrac{M|x_o|^n}{|x_o|-1}$

Từ đó ta có $|x_o|<1+M$.

Bài toán: Có tồn tại hay không đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. $P(x)$ không là đa thức không.
2. Các hệ số của $P(x)$ nằm từ $(-r,r)$.
3. $P(x)$ chia hết cho $x^2-rx-1$.

(trong đó $r$ là số nguyên dương nào đó).

Giải.

Giả sử tồn tại đa thức hệ số nguyên thoả mãn các điều kiện trên với

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_o$.

Nhận xét rằng phương trình $x^2-rx-1=0$ có hai nghiệm $x_1>x_2$ xác định như sau:

$$x_1=\dfrac{r+\sqrt{r^2+4}}{2}, x_2=\dfrac{r-\sqrt{r^2+4}}{2}$$  

Từ đó suy ra $x_1>r$.

Vì $P(x)$ chia hết cho $x^2-rx-1$ nên $x_1$ là nghiệm của $P(x)$. Theo định lý trên ta có

$$x_1=|x_1|<1+M$$

Mặt khác ta có $|a_i|\le r-1$ và $|a_n|\ge 1$ nên $M\le r-1$. Từ đó suy ra 

$x_1<1+(r-1)=r$

Đây là điều mâu thuẫn với $x_1>r$.

Do đó không tồn tại đa thức $P(x)$ thoả các điều kiện trên.