Đạo hàm

1) Bài toán mở đầu

Ở các lớp trước, ta đã học các loại chuyển động đặc biệt: chuyển động thẳng đều và chuyển động thẳng biến đổi đều. Các loại chuyển động này, ta xác định được vận tốc tức thời một cách khá đơn giản. Tuy nhiên, các loại chuyển động này rất ít khi gặp nếu không muốn nói là hầu như không có trên đời. Với một loại chuyển động bất kì, vận tốc tức thời  mang ý nghĩa gì? Và nó được xác định ra sao ?

Ta xét một vật chuyển động  với phương trình của quãng đường là $s(t)$ (được xác định bằng cách nào đó) với $t$ là thời gian. Ta chọn hai thời điểm $t_1, t_2$ bất kì, ta dễ dàng tính được vận tốc trung bình trong khoảng thời gian này thông qua 

$$v_{tb}=\dfrac{s(t_1)-s(t_2)}{t_1-t_2}.$$

Và công thức trên chính là cơ sở để ta xây dựng vận tốc tức thời tại một thời điểm $t_o$ nào đó. Cụ thể, ta lấy một thời điểm $t$ khác $t_o$. Khi đó vận tốc trung bình trong khoảng thời gian giữa $t_o$ và $t$ sẽ là $$\dfrac{s(t)-s(t_o)}{t-t_o}$$

Tuy nhiên để có giá trị mà ta gọi là vận tốc tức thời thì đòi hỏi thời điểm $t$ phải thật gần $t_o$. Vậy làm sao để lấy $t$ thật gần $t_o$? Lấy giới hạn là công cụ cho phép ta làm đều được đều đấy. Vậy thật ra vận tốc tức thời chẳng qua là giới hạn của những vận tốc trung bình của chuyển động trong quãng thời gian giữa $t$ và $t_o$ khi $t$ tiến đến $t_o$, hay $$v(t_o)=\lim_{t\to t_o}\dfrac{s(t)-s(t_o)}{t-t_o}$$

Tới đây, ta trả lại ngôn ngữ toán học như sau
$t$ là một biến số                                              ----->  biến số $x$
$s(t)$ là hàm số theo biến số thời gian $t$       -----> hàm số $f(x)$
$t_o$  thời điểm $t_o$                                      -----> điểm $x_o$ cho trước
$v(t_o)$ vận tốc tức thời tại $t_o$                    -----> ??????
 Đại lượng tương ứng ở đây chính là đạo hàm của hàm số tại một điểm $x_o$ cho trước. Vậy ta có thể hình dung, đạo hàm của hàm số tại một điểm là đại lượng đo sự thay đổi của giá trị hàm số tại điểm đó.

2) Định nghĩa của đạo hàm

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a,b)$ và $x_o\in (a,b)$. Nếu $\lim_{x\to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$ tồn tại và hữu hạn thì giá trị giới hạn này gọi là đạo hàm của hàm số $f$ tại $x_o$. Ký hiệu $y'(x_o)$ hay $f'(x_o)$.

$$y'(x_o)=f'(x_o)=\lim_{x\to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$$

 Ví dụ 1:  Tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=x^3$ tại $x_o=2$
Giải.
Ta có 
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3-2^3}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x^2+2x+4)=12$
Vậy $f'(2)=y'(2)=12$.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số tại $y=f(x)=\sqrt(x)$ tại $x_o=4$
Giải
 Ta có 
$$\lim_{x\to 4}\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=\lim_{x\to 4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{1}{4}$$
Vậy $y'(4)=f'(4)=\dfrac{1}{4}$
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số $y=f(x)=|x|$ tại $x_o=0$.
Giải
 Ta có
$$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}1=1$$
$$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}1=-1$$
Do đó không tồn tại $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$. Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x_o=0$ 

Về mặt đồ thị thì nếu không có đạo hàm tại $x_o$ thì đồ thị sẽ bị gãy  tại $x_o$

3) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_o$. Gọi $(C)$ là đồ thị của hàm số $y=f(x)$. Khi đó  $f'(x_o)$ là hệ số góc tiếp tuyến của $(C)$ tại $x_o$. Do đó, phương trình tiếp tuyến $(d)$ của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_o$ là

$y=f'(x_o).(x-x_o)+f(x_o)$

$(x_o,f(x_o))$ gọi là tiếp điểm.

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2$ tại điểm có hoành độ $x_o=1$.
Giải
 Ta có
$$\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2$$
Suy ra $f'(1)=2$
$f(1)=1$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_o=1$ là 
$$y=f'(x_o).(x-x_o)+f(x_o)\Longleftrightarrow y=2(x-1)+1\Longleftrightarrow y=2x-1$$
 Ví dụ 4:   Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ tại điểm có tung độ bằng $-2$. 
Giải
Gọi $x_o$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Ta có 
$y_o=f(x_o)\Longleftrightarrow -2=x_o^3-3x_o\Longleftrightarrow \left[\begin{matrix}x_o=1\\x_o=-2\end{matrix}\right.$

• Nếu $x_o=1$.

ta tính được $f'(1)=0$. Do đó tiếp tuyến cần tìm là
$$y=f'(1)(x-1)+f(1)\Longleftrightarrow y=1$$

• Nếu $x_o=-2$, ta tính được $f'(-2)=9$. Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là 

$$y=f'(-2)(x+2)+f(-2)\Longleftrightarrow y=9x+16$$

4) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Về mặt cơ học, vận tốc tức thời của chuyển động tại một thời điểm $t_o$ chính là đạo hàm của quãng đường (xem là hàm theo biến số thời gian) tại $t_o$. Hay 

$$v(t_o)=s'(t_o)$$