Bất đẳng thức

Phần 1: Ôn tập

Bài 1:  Cho các số thực $a,b,c$ không âm. Chứng minh các bất đẳng thức $$(1+a)(1+b)(1+c)\ge \left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3$$.

Bài 2:

1. Cho các số thực dương $a,b$ thoả $ab\ge 1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+a^2}\ge \dfrac{2}{1+ab}.$$ Dấu bằng xảy ra khi nào? Điều gì xảy ra nếu $0<ab\le 1$?
2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a,b,c\ge 1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}\ge \dfrac{3}{1+abc}.$$
3. Cho $a,b$ là các số thực. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+a)^2}\ge \dfrac{1}{1+ab}$$
4. Cho $a,b\in [0;1]$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}\le \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$$

Bài 3: Cho các số thực $a,b$ không âm. Chứng minh rằng: $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$. Từ đó chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le \dfrac{1}{abc}.$$

Bài 4: 

1. Cho các số thực $a,b,c$ dương. Chứng minh rằng:$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}.$$
2. Cho các số $a,b,c$ dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3}{b(c+2a)}+\dfrac{b^3}{c(a+b)}+\dfrac{c^3}{a(b+c)}\ge \dfrac{a+b+c}{3}.$$

Bài 5:  Cho các số $a,b,c>0$ thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

1. $\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge 64$
2. $\sqrt{\dfrac{1}{a}-1}\sqrt{\dfrac{1}{b}-1}+\sqrt{\dfrac{1}{b}-1}\sqrt{\dfrac{1}{c}-1}+\sqrt{\dfrac{1}{c}-1}\sqrt{\dfrac{1}{a}-1}\ge 6.$

Bài 6: Cho các số thực $a,b\le 1$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{1}{1-x^2}+\dfrac{1}{1-y^2}\ge \dfrac{2}{1-xy}$$
Bài 7:Cho các số thực dương $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a_1b_1}{a_1+b_1}+\dfrac{a_2b_2}{a_2+b_2}+...+\dfrac{a_nb_n}{a_n+b_n}\le \dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\left(b_1+b_2+...+b_n\right)}{a_1+a_2+...+a_n+b_1+b_2+...+b_n}.$$
Bài 8: Cho các số thực $a,b,c$ không âm

1. Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a).$
2. Với $r$ là số thực bất kì. Chứng minh rằng: $$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\ge 0.$$

Bài 9: Cho các số thực $a,b,c$ thoả $a\ge b\ge c$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{b^2c}{a}+\dfrac{c^2a}{b}+\dfrac{a^2b}{c}\ge a^2+b^2+c^2$$
Bài 10:  Cho các số thực $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ thoả $a_1\le b_1\le c_1$ và $a_2\le b_2\le c_2$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{a_1+b_1+c_1}{3}.\dfrac{a_2+b_2+c_2}{3}\le\dfrac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{3}.$$

Phần 2:Cân bằng điểm rơi Cauchy