Cho $f\in C^2[a,b]$. Chứng minh rằng tồn tại $c\in (a,b)$ sao cho

$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}-f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=\dfrac{f''(c)}{8}(b-a)$

Giải

 Đặt $h=\dfrac{a+b}{2}$, ta xét 

$g(t)=\dfrac{f(h+t)+f(h-t)}{2}-f(h)$

với $t\in \left[0,\dfrac{b-a}{2}\right]$ thì $f\in C^2\left[0,\dfrac{b-a}{2}\right]$. Ta có 

$g'(t)=f'(h+t)-f'(h-t)$

Theo định lý giá trị trung bình thì có $c\in \left[h-t,h+t\right]\subseteq [a,b]$ sao cho

$g'(t)=f''(c).t$

Suy ra 

$$g(t)=f''(c).\dfrac{t^2}{2}+d$$

Mà $g(0)=0$ nên $d=0$. Suy ra $$g\left(\dfrac{b-a}{2}\right)=\dfrac{f''(c)}{8}(b-a)^2$$ Ta có điều phải chứng minh.